Обобщенная теорема синусов

Теорема 1.1: Для треугольника АВС с радиусом описанного круга R выполнены соотношения:

.

Теорема Чевы

Отрезок, соединяющий вершину треугольника с некоторой точкой на противоположной стороне, называется чевианой. Спутниковый мониторинг mssgloanss.ru. Спутниковая система мониторинга транспорта GPS в Москве.

Теорема 2.1: Если три чевианы AX, BY, CZ (по одной из каждой вершины) треугольника АВС конкурентны, то:

.

Три прямые (или отрезка) конкурентны, если все они проходят через одну точку.

Площади треугольников с равными высотами пропорциональны основаниям треугольников.

Ссылаясь на рисунок, имеем:

Аналогично:

Если их перемножить, то получим:

Теорема, обратная к этой теореме, также верна:

Теорема 2.2: Если три чевианы AX, BY, CZ удовлетворяют нижеприведенное соотношение, то они конкурентны:

.

Чтобы это показать, предположим, что две первые чевианы пересекаются в точке Р, как и прежде, а третья чевиана, проходящая через точку Р, будет CZ`. Тогда по теореме 2.1: .

Но по предположению: .

Следовательно: .

Точка Z` совпадает с Z, т.е. отрезки AX, BY и CZ конкурентны.

Замечательные точки

Центр окружности, описанной вокруг треугольника. О – её обозначение. Она является точкой пересечения трех перпендикуляров, делящих пополам стороны треугольника. R – радиус описанной окружности.

Чевианы, которые связывают вершины треугольника с серединами противоположных сторон, называются медианами. На рисунке отрезки АА`, BB` и CC` – медианы, так что |BA`|=|A`C|, |CB`|=|B`A| и |AC`|=|C`B|. Применяя теорему 2, делаем вывод, что медианы конкурентны. Их общая точка G называется центроидом треугольника. Если бы треугольник был вырезан из однородного материала, то он оставался бы в равновесии, будучи подвешенным в этой точке. Другими словами, центроид есть «центр тяжести» треугольника.

Теорема 3.1: Треугольник делится своими медианами на шесть меньших треугольников равной площади.

Теорема 3.2: Медианы треугольника делят одна другую в отношении 2:1. Другими словами, каждая медиана отсекает треть другой медианы.

Чевианы AD, BE, CF, перпендикулярные прямым BC, CA, AB, соответственно, называются высотами треугольника АВС. Теорема, обратная теореме Чевы, устанавливает их конкурентность. Их общая точка Н называется ортоцентром.

Сами точки D, E, F называются основаниями высот. Соединяя их попарно, мы получим треугольник DEF – ортотреугольник треугольника АВС.

Другое важное семейство чевиан образуют биссектрисы внутренних углов. На рисунке показана одна такая биссектриса AL. Применяя теорему 1 к двум треугольникам ABL и ALC (углы которых в точке L, равные синусы), мы получаем:

.

Так как можем получить аналогичные результаты для биссектрис внутренних углов B и C, то таким образом доказали теорему.

Теорема 3.3: Каждая биссектриса внутреннего угла в треугольнике делит противоположную сторону на отрезки, длины которых пропорциональны длинам прилегающих сторон.

Любая точка на прямой AL равноудалена от прямых CA и AB. Аналогично, любая точка на биссектрисе внутреннего угла В равноудалена от прямых ВА и ВС. Следовательно, точка I, в которой эти две биссектрисы пересекаются, находится на равных расстояниях r от трех сторон:

Познавательно о обучении:

Формы, приёмы и методы использования исторического материала в процессе изучения органических веществ
Обучение химии можно вести с помощью разных организационных форм, таких как урок, внеклассные и факультативные занятия, консультации, домашние задания и другие. Основной формой организации учебной деятельности является урок – составной элемент классно-урочной системы обучения. Наиболее общеупотреби ...

Методическая служба
Основная цель работы – обеспечение сюжетно-содержательной стороны программы – проведение общелагерных мероприятий, отражающих сюжетно-ролевую направленность лагеря. Второй, не менее важной целью является организация постоянно действующего семинара для вожатых, направленного на помощь вожатым в выбо ...

Контроль как раздел методической работы в ДОУ
Актуальность проблемы подготовки высококвалифицированного, свободно мыслящего, активно действующего воспитателя на современном этапе в связи с возрождающимся подходом к человеку как самоценности очевидна для всех. Помочь воспитателю овладеть новым педагогическим мышлением, готовностью к решению сло ...