Обобщенная теорема синусов

Страница 1

Теорема 1.1: Для треугольника АВС с радиусом описанного круга R выполнены соотношения:

.

Теорема Чевы

Отрезок, соединяющий вершину треугольника с некоторой точкой на противоположной стороне, называется чевианой.

Теорема 2.1: Если три чевианы AX, BY, CZ (по одной из каждой вершины) треугольника АВС конкурентны, то:

.

Три прямые (или отрезка) конкурентны, если все они проходят через одну точку.

Площади треугольников с равными высотами пропорциональны основаниям треугольников.

Ссылаясь на рисунок, имеем:

Аналогично:

Если их перемножить, то получим:

Теорема, обратная к этой теореме, также верна:

Теорема 2.2: Если три чевианы AX, BY, CZ удовлетворяют нижеприведенное соотношение, то они конкурентны:

.

Чтобы это показать, предположим, что две первые чевианы пересекаются в точке Р, как и прежде, а третья чевиана, проходящая через точку Р, будет CZ`. Тогда по теореме 2.1: .

Но по предположению: .

Следовательно: .

Точка Z` совпадает с Z, т.е. отрезки AX, BY и CZ конкурентны.

Замечательные точки

Центр окружности, описанной вокруг треугольника. О – её обозначение. Она является точкой пересечения трех перпендикуляров, делящих пополам стороны треугольника. R – радиус описанной окружности.

Чевианы, которые связывают вершины треугольника с серединами противоположных сторон, называются медианами. На рисунке отрезки АА`, BB` и CC` – медианы, так что |BA`|=|A`C|, |CB`|=|B`A| и |AC`|=|C`B|. Применяя теорему 2, делаем вывод, что медианы конкурентны. Их общая точка G называется центроидом треугольника. Если бы треугольник был вырезан из однородного материала, то он оставался бы в равновесии, будучи подвешенным в этой точке. Другими словами, центроид есть «центр тяжести» треугольника.

Теорема 3.1: Треугольник делится своими медианами на шесть меньших треугольников равной площади.

Теорема 3.2: Медианы треугольника делят одна другую в отношении 2:1. Другими словами, каждая медиана отсекает треть другой медианы.

Чевианы AD, BE, CF, перпендикулярные прямым BC, CA, AB, соответственно, называются высотами треугольника АВС. Теорема, обратная теореме Чевы, устанавливает их конкурентность. Их общая точка Н называется ортоцентром.

Сами точки D, E, F называются основаниями высот. Соединяя их попарно, мы получим треугольник DEF – ортотреугольник треугольника АВС.

Другое важное семейство чевиан образуют биссектрисы внутренних углов. На рисунке показана одна такая биссектриса AL. Применяя теорему 1 к двум треугольникам ABL и ALC (углы которых в точке L, равные синусы), мы получаем:

.

Так как можем получить аналогичные результаты для биссектрис внутренних углов B и C, то таким образом доказали теорему.

Теорема 3.3: Каждая биссектриса внутреннего угла в треугольнике делит противоположную сторону на отрезки, длины которых пропорциональны длинам прилегающих сторон.

Любая точка на прямой AL равноудалена от прямых CA и AB. Аналогично, любая точка на биссектрисе внутреннего угла В равноудалена от прямых ВА и ВС. Следовательно, точка I, в которой эти две биссектрисы пересекаются, находится на равных расстояниях r от трех сторон:

Страницы: 1 2 3

Познавательно о обучении:

План-конспект урока с использованием психодиагностики школьников
Для пользователя Windows наибольший интерес представляют “мощные” приложения, которые в последнее время стали чрезвычайно популярны. (Так же как и сама операционная среда Windows, многие ее приложения разрабатываются фирмой Microsoft, поэтому в полных названиях всех программных продуктов присутству ...

Анализ возможностей дистанционного обучения взрослых в Забайкальском крае
Чтобы провести анализ возможностей дистанционного обучения взрослых в Забайкальском крае, мною была использована система Интернет, где с помощью поисковой системы анализировался материал, связанный с дистанционным образованием в городе Чите и крае. В итоге было выяснено, что в нашем крае дистанцион ...

Джованни Чева
Третьего марта 1648 года в Милане родился будущий итальянский инженер и математик Джованни Чева. Окончил Пизанский университет. Основные работы по механике, гидравлике и математике. В 1678 году Джованни Чева доказал теорему о соотношении отрезков некоторых прямых, пересекающих треугольник (Теорема ...

Категории

Copyright © 2019 www.fiteducation.ru