Лемма 5.1.2: В треугольнике с двумя различными углами меньший угол обладает большей биссектрисой.
Доказательство: Пусть АВС – треугольник, в котором угол В меньше угла С, как на рисунке; пусть отрезки BM и CN делят пополам углы В и С. Мы хотим доказать, что |BM|>|CN|. Возьмем точку М` на отрезке ВМ так, чтобы ÐM`CN=1/2 ÐB. Так как это угол равен углу M`BN, то четыре точки N, B, C, M` на одной окружности.
Поскольку ÐB < 1/2(ÐB+ÐC) < 1/2(ÐA+ÐB+ÐC), то ÐCBN < M`CB <90°.
По лемме 5.1.1 |CN|<|M`B|. Следовательно, |BM|>|BM`|>|CN|.
Доказательство теоремы: Часто бывает, что теорема может быть выражена в форме «противоположной к обратной» – эквивалентной к обратной. Вместо доказательства теоремы 1.51 для нас будет достаточно доказать, что если в треугольнике АВС В ¹ С, то |BM| ¹ |CN|. Но это есть прямое следствие леммы 5.1.2.
Ортотреугольник
Теорема 6.1: Ортоцентр остроугольного треугольника является центром окружности, вписанной в его ортотреугольник.
Одно из простейших доказательств опирается на две следующие леммы:
Лемма 6.1.1: Если две хорды окружности стягивают различные острые углы с вершинами на этой окружности, то меньшему углу соответствует меньшая хорда.
Доказательство: Две равные хорды стягивают равные углы с вершиной в центре окружности и равные углы (как их половины) с вершинами в соответствующих точках на окружности. Из двух неравных хорд более короткая, находясь дальше от центра, стягивает меньший угол с вершиной в центре и, следовательно; меньший угол с вершиной на окружности.
Лемма 6.1.2: В треугольнике с двумя различными углами меньший угол обладает большей биссектрисой.
Доказательство: Пусть АВС – треугольник, в котором угол В меньше угла С, как на рисунке; пусть отрезки ВМ и CN делят пополам углы В и С. Мы хотим доказать, что . Возьмём точку М` на отрезке ВМ так, чтобы
. Так как этот угол равен углу M`BN, то четыре точки N, B, C, M` лежат на одной окружности. Поскольку
то
. По лемме 6.1.1
. Следовательно,
Доказательство теоремы 6.1: Часто случается, что теорема может быть выражена в форме «противоположной к обратной» – эквивалентной первоначальной.
Вместо доказательства самой теоремы 6.1. нам достаточно доказать, что если в треугольнике АВС , то
. Но это есть прямое следствие леммы 6.1.2.
Теорема 6.2: Ортоцентр остроугольного треугольника является центром окружности, вписанной в его ортотреугольник.
Мы уже отметили на рисунке, что . А так как отрезок HD перпендикулярен отрезку DB, то и отрезок FD должен быть перпендикулярен отрезку OB. Перпендикулярность отрезков DE и OC, а также EF и OA показывается аналогично.
Познавательно о обучении:
Организация и методы изучения воображения
Исследование проводилось в Муниципальном специальном «коррекционном» образовательном учреждении для обучающихся воспитанников с ограниченными возможностями здоровья. «Барнаульская специальная «коррекционная» общеобразовательная школа интернат № 4 V вида», в период с 1сентября 2008 по 20 мая 2009г. ...
Основные принципы андрагогики
Основное положение андрагогики, в отличие от традиционной педагогики, заключается в том, что ведущую роль в процессе обучения играет не обучающий, а обучаемый. Функцией обучающего в этом случае является оказание помощи обучающемуся в выявлении, систематизации, формализации личного опыта последнего, ...
Проверка эффективности психологического воздействия
при обучении старшеклассников работе с текстовым процессором
Нами была проведена опытно-экспериментальная работа, целью которой было: выяснить сможет ли разработанная методика повысить уровень качества обучения старшеклассников работе с текстовым процессором. Эксперимент проводился в школе №394 в 9-х классах. Каждый класс делился на две группы, в одной из ко ...