Обобщенная теорема синусов

Лемма 5.1.2: В треугольнике с двумя различными углами меньший угол обладает большей биссектрисой.

Доказательство: Пусть АВС – треугольник, в котором угол В меньше угла С, как на рисунке; пусть отрезки BM и CN делят пополам углы В и С. Мы хотим доказать, что |BM|>|CN|. Возьмем точку М` на отрезке ВМ так, чтобы ÐM`CN=1/2 ÐB. Так как это угол равен углу M`BN, то четыре точки N, B, C, M` на одной окружности.

Поскольку ÐB < 1/2(ÐB+ÐC) < 1/2(ÐA+ÐB+ÐC), то ÐCBN < M`CB <90°.

По лемме 5.1.1 |CN|<|M`B|. Следовательно, |BM|>|BM`|>|CN|.

Доказательство теоремы: Часто бывает, что теорема может быть выражена в форме «противоположной к обратной» – эквивалентной к обратной. Вместо доказательства теоремы 1.51 для нас будет достаточно доказать, что если в треугольнике АВС В ¹ С, то |BM| ¹ |CN|. Но это есть прямое следствие леммы 5.1.2.

Ортотреугольник

Теорема 6.1: Ортоцентр остроугольного треугольника является центром окружности, вписанной в его ортотреугольник.

Одно из простейших доказательств опирается на две следующие леммы:

Лемма 6.1.1: Если две хорды окружности стягивают различные острые углы с вершинами на этой окружности, то меньшему углу соответствует меньшая хорда.

Доказательство: Две равные хорды стягивают равные углы с вершиной в центре окружности и равные углы (как их половины) с вершинами в соответствующих точках на окружности. Из двух неравных хорд более короткая, находясь дальше от центра, стягивает меньший угол с вершиной в центре и, следовательно; меньший угол с вершиной на окружности.

Лемма 6.1.2: В треугольнике с двумя различными углами меньший угол обладает большей биссектрисой.

Доказательство: Пусть АВС – треугольник, в котором угол В меньше угла С, как на рисунке; пусть отрезки ВМ и CN делят пополам углы В и С. Мы хотим доказать, что . Возьмём точку М` на отрезке ВМ так, чтобы . Так как этот угол равен углу M`BN, то четыре точки N, B, C, M` лежат на одной окружности. Поскольку то . По лемме 6.1.1 . Следовательно,

Доказательство теоремы 6.1: Часто случается, что теорема может быть выражена в форме «противоположной к обратной» – эквивалентной первоначальной.

Вместо доказательства самой теоремы 6.1. нам достаточно доказать, что если в треугольнике АВС , то . Но это есть прямое следствие леммы 6.1.2.

Теорема 6.2: Ортоцентр остроугольного треугольника является центром окружности, вписанной в его ортотреугольник.

Мы уже отметили на рисунке, что . А так как отрезок HD перпендикулярен отрезку DB, то и отрезок FD должен быть перпендикулярен отрезку OB. Перпендикулярность отрезков DE и OC, а также EF и OA показывается аналогично.

Познавательно о обучении:

Игра - основной вид деятельности дошкольников
В развитии ребенка и коллектива детей огромная роль принадлежит основному виду детской деятельности в дошкольный период - игре. Советские психологи (Л.С. Выготский, А.В. Запорожец, А.Н. Леонтьев, А.А. Люблинская, С.Л. Рубинштейн, Д.Б. Эльконин) считают игру ведущей деятельностью в дошкольном возрас ...

Способы предъявления софизмов
Способы предъявления софизмов могут быть различными. Рассмотрим некоторые из них. 1. Текст софизма записывается на доску до начала урока и учитель обращает внимание учеников, что они могут во время перемены подумать над заданием. В начале урока учитель даёт ещё 3-5 минут на обдумывание, после чего ...

Констатирующий эксперимент по выявлению уровня познавательной активности младших школьников
Исследование начато в декабре 2014 года во втором классе " А " школы №61, занимающемся по системе Эльконина - Давыдова. Эта система основывается на ценности развития, потому разработка развивающего обучения подразумевает постановку и заключение детками учебных задач. А это означает, что г ...