Лемма 5.1.2: В треугольнике с двумя различными углами меньший угол обладает большей биссектрисой.
Доказательство: Пусть АВС – треугольник, в котором угол В меньше угла С, как на рисунке; пусть отрезки BM и CN делят пополам углы В и С. Мы хотим доказать, что |BM|>|CN|. Возьмем точку М` на отрезке ВМ так, чтобы ÐM`CN=1/2 ÐB. Так как это угол равен углу M`BN, то четыре точки N, B, C, M` на одной окружности.
Поскольку ÐB < 1/2(ÐB+ÐC) < 1/2(ÐA+ÐB+ÐC), то ÐCBN < M`CB <90°.
По лемме 5.1.1 |CN|<|M`B|. Следовательно, |BM|>|BM`|>|CN|.
Доказательство теоремы: Часто бывает, что теорема может быть выражена в форме «противоположной к обратной» – эквивалентной к обратной. Вместо доказательства теоремы 1.51 для нас будет достаточно доказать, что если в треугольнике АВС В ¹ С, то |BM| ¹ |CN|. Но это есть прямое следствие леммы 5.1.2.
Ортотреугольник
Теорема 6.1: Ортоцентр остроугольного треугольника является центром окружности, вписанной в его ортотреугольник.
Одно из простейших доказательств опирается на две следующие леммы:
Лемма 6.1.1: Если две хорды окружности стягивают различные острые углы с вершинами на этой окружности, то меньшему углу соответствует меньшая хорда.
Доказательство: Две равные хорды стягивают равные углы с вершиной в центре окружности и равные углы (как их половины) с вершинами в соответствующих точках на окружности. Из двух неравных хорд более короткая, находясь дальше от центра, стягивает меньший угол с вершиной в центре и, следовательно; меньший угол с вершиной на окружности.
Лемма 6.1.2: В треугольнике с двумя различными углами меньший угол обладает большей биссектрисой.
Доказательство: Пусть АВС – треугольник, в котором угол В меньше угла С, как на рисунке; пусть отрезки ВМ и CN делят пополам углы В и С. Мы хотим доказать, что . Возьмём точку М` на отрезке ВМ так, чтобы
. Так как этот угол равен углу M`BN, то четыре точки N, B, C, M` лежат на одной окружности. Поскольку
то
. По лемме 6.1.1
. Следовательно,
Доказательство теоремы 6.1: Часто случается, что теорема может быть выражена в форме «противоположной к обратной» – эквивалентной первоначальной.
Вместо доказательства самой теоремы 6.1. нам достаточно доказать, что если в треугольнике АВС , то
. Но это есть прямое следствие леммы 6.1.2.
Теорема 6.2: Ортоцентр остроугольного треугольника является центром окружности, вписанной в его ортотреугольник.
Мы уже отметили на рисунке, что . А так как отрезок HD перпендикулярен отрезку DB, то и отрезок FD должен быть перпендикулярен отрезку OB. Перпендикулярность отрезков DE и OC, а также EF и OA показывается аналогично.
Познавательно о обучении:
Двигательный режим как фактор укрепления здоровья
Под активным двигательным режимом понимают регламентированную по интенсивности физическую нагрузку, которая полностью удовлетворяет биологическую потребность в движениях, соответствует функциональным возможностям неравномерно развивающихся систем растущего организма, способствует укреплению здоровь ...
Организация эксперимента, этапы, задачи и методы
I этап – подготовительный (с 17.11.2007 по 27.12.2008). Проведение функциональных проб, т.е. предъявление учащимся разных заданий с целью определить, какой путь обучения им больше подходит. II этап - обучение по названым ниже методикам (с 9.01.2008 по 10.04.2010) Фрагменты конспектов занятий, уроко ...
Конспект на тему: "Конституция России – основной закон нашего
государства"
Форма урока: лекция Цель урока: сформировать у учащихся представление о государстве, рассмотреть его признаки и формы правления. Структура урока: организационный момент; изучение нового материала; закрепление нового материала; домашнее задание. Материалы к уроку: Конституция РФ. Текст лекции. 1. По ...