Применение софизмов на уроках математики

9 класс.

Софизм: В любом треугольнике катет больше гипотенузы.

Рассмотрим произвольный треугольник АВС и докажем, что его катет АС больше гипотенузы ВС. Для этого запишем два очевидных равенства

,

,

из которых вытекает, что

.

Разделив последнее равенство на , получим равенство

, (1)

в котором в левой дроби числитель ВС+АС больше знаменателя –(ВС+АС), т.к. положительная величина всегда больше отрицательной. Поэтому, для того чтобы имело место равенство, необходимо, чтобы и в правой его части выполнялось неравенство , откуда , или , или, наконец,, т.е. в любом прямоугольном треугольнике катет больше гипотенузы.

В

С

А

Раскрытие софизма: Ошибка состоит в том, что сравнение двух дробей необходимо проводить согласно определению равенства дробей, а не сравнивать отдельно числители и отдельно знаменатели этих дробей.

Обратимся к неравенству (1). В дроби, стоящей в его левой части, числитель и знаменатель равны по абсолютной величине и противоположны по знаку, поэтому эта дробь равна – 1 . Это же относится и к дроби в правой части равенства (1): она равна – 1 . Поэтому равенство (1) приводит к равенству -1 = -1.

Софизм: Парадокс Зенона: Ахиллес никогда не догонит черепаху.

Древнегреческий философ Зенон доказывал, что Ахиллес, один из самых сильных и храбрых героев, осаждавших древнюю Трою, никогда не догонит черепаху, которая, как вы, конечно, знаете, отличается крайне медленной скоростью передвижения.

Вот примерная схема его рассуждений. Предположим, что Ахиллес и черепаха начинают своё движение одновременно и Ахиллес стремится догнать черепаху. Примем для определённости, что Ахиллес движется в 10 раз быстрее черепахи и, что их отделяют друг от друга 100 шагов.

Когда Ахиллес пробежит расстояние 100 шагов, отделяющее его от места, откуда начала своё движение черепаха, то в этом месте Ахиллес её уже не застанет, т.к. она пройдёт вперёд расстояние в 10 шагов. Когда Ахиллес минует и эти 10 шагов, то и там черепахи уже не будет, поскольку она успеет перейти на 1 шаг в новое место. Достигнув и этого места, Ахиллес опять не найдёт там черепахи, потому что она успеет пройти расстояние, равное 1/10 шага, и снова окажется несколько впереди его. Это рассуждение можно продолжать до бесконечности, и придётся признать, что быстроногиё Ахиллес никогда не догонит медленно ползущую черепаху.

Раскрытие софизма: Понятно, что Ахиллес догонит черепаху. Смысл софизма Зенона состоит не только в том, что Зенон вскрывал противоречивость движения. Парадоксы и софизмы Зенона, из которых до нас дошло только 9, имеют значительно более глубокий смысл и направлены на вскрытие понятия бесконечности, на разрешение «проклятия бесконечности» и до сих пор привлекают внимание математиков и философов, которые продолжают давать им самые различные объяснения. Рассматриваемый софизм на сегодняшний день не далёк от своего окончательного разрешения.

Познавательно о обучении:

Мышление как познавательный процесс
Мышление - это социально обусловленный, неразрывно связанный с речью психический процесс поисков и открытия существенно нового, процесс опосредствованного и обобщенного отражения действительности в ходе ее анализа и синтеза, так считают Петровский А.В. и Ярошевский М.Г. Мышление возникает на основе ...

Принципы досуга
Всякая деятельность зиждется на общих закономерностях ее развития. Досуг детей, подростков и юношества развивается по своим законам, принципам, теоретически обоснованным и апробированным на практике. К ним относятся: 1. Принцип всеобщности и доступности- то есть возможность приобщения, вовлеченност ...

Анализ причин неудач и трудностей в обучении обследованных детей
Анализируя причины неудач и трудностей в обучении всех обследованных ребят, можно отметить: · снижение «чувства языка»; · языковая интерференция в условиях билингвального обучения. · несформированный внутренний механизм освоения языка ребёнка; · низкий уровень лингвистической одарённости ребёнка; · ...