Евклидовы «Начала»

Египтяне, например Пифагор (ок. 600–500 гг. до н.э.), использовали свойства прямоугольных треугольников со сторонами 3,4,5. По скудным сведениям, дошедшим до нас, Пифагор, покинув свой родной остров Самос, некоторое время жил в Египте.

Таким образом, уже в те далекие времена люди владели различными познаниями в области геометрии, но они не были в состоянии свести их в единую систему. Фалес (примерно 600 г.до н.э.) путешествуя по Египту, познакомился с местными методами измерений и, вернувшись в Грецию, рассказал о них своим соотечественникам. У него были и собственные исследования: в современных школьных курсах математики есть теорема Фалеса. И, только Пифагор, дав доказательство своей теоремы, тем самым отделил геометрию от искусства измерения. К возникшей впоследствии школе Пифагора принадлежали многие ученые, среди которых выделялся Гиппократ Хиосский. Именно он составил систематическое изложение основ геометрии.

Затем наступила эпоха многочисленных геометрических исследований знаменитой платоновской Академии. Платон (427–347гг. до н.э.) наряду с философией серьезное внимание уделял геометрии. Евклид был моложе учеников Платона, но старше Архимеда (ок.287–212 гг. до н.э.), так как был платоником и хорошо знал философию Платона (именно поэтому он закончил «Начала» изложением так называемых Платоновых тел, т.е. пяти правильных многогранников), а с другой стороны его имя упоминается в первом из двух писем Архимеда к Досифею «О шаре и цилиндре».

Евклид жил в Александрии примерно 365 до 300 г. до нашей эры.

Евклид при написании «Начал» не использовал слова «геометрия», но оно, как известно, в то время применялось довольно широко. Его «Начала» представляют собой полное и систематическое изложение основ геометрии. Они состоят из 13 книг, причем не все книги посвящены геометрии: в пятой, седьмой, восьмой девятой и десятой книгах рассматриваются вопросы арифметики. В остальных восьми книгах излагаются основы геометрии.

Открываются «Начала» определениями основных понятий и формулировками некоторых основных положений геометрии, которые принимаются без доказательств.

Далее идут в строгой последовательности «предложения», которые являются теоремами или задачами на построение. Каждая книга «Начал» имеет ту же структуру.

В первую книгу входят теоремы о равенстве треугольников, соотношениях между сторонами и углами треугольников, теории параллельных линий, условия равновеликости треугольников и многоугольников, теорема Пифагора. Во второй книге рассматривается превращение многоугольников в равновеликий квадрат. Третья книга посвящена изучению свойств окружности, четвертая – вписанным и описанным многоугольникам, шестая – подобным фигурам. Наконец, в последних трех книгах излагается стереометрия, которая заканчивается построением циркулем и линейкой ребер правильных многогранников.

Первая книга, как уже было сказано, начинается с определений. Вот некоторые из них:

Определение 1. Точка есть то, часть чего есть ничто.

Определение 2. Линия есть длина без ширины.

Определение 4. Прямая есть такая линия, которая одинаково расположена по отношению ко всем своим точкам и т. д. Всего подряд 23 определения.

Теория Евклида опирается на ряд определений и аксиом. Исходной точкой его логической системы является положение о том, что выдвигаемые им постулаты очевидны, их справедливость признается всеми несомненной.

Имеется пять постулатов:

a. Через две точки проходит единственная прямая.

b. Ограниченную прямую линию можно непрерывно продолжать.

c. Из любой точки как из центра можно описать окружность любого радиуса.

d. Все прямые углы равны между собой.

Познавательно о обучении:

Учет возрастных особенностей школьников 10-11 классов при осуществлении психодиагностики
В подростковом возрасте у ребенка происходит наиболее существенные процессы, связанные с выбором будущей профессии, с выработкой соответствующих умений и навыков, нужных деловых качеств личности. Возникают центральное новообразование этого возраста - представление о себе, как “не о ребенке”, подрос ...

Показатели эффективности нестандартных форм работы классного руководителя в процессе гражданского воспитания старшеклассников
Определение эффективности деятельности классного руководителя по организации воспитательного процесса относится к числу наиболее сложных педагогических проблем. Эффективность характеризует степень успешности функционирования педагогической системы в достижении цели. Поскольку цели могут быть различ ...

Обзор научно-методической литературы по использованию игр
Несмотря на то, что психологи и педагоги уже давно проявляют интерес к детской игре, проблема целенаправленного формирования игры у детей дошкольного возраста с целью их развития и воспитания возникла лишь во второй половине XX века. В трудах психологов XIX и начала XX в. игра рассматривалась как о ...