Евклидовы «Начала»

Египтяне, например Пифагор (ок. 600–500 гг. до н.э.), использовали свойства прямоугольных треугольников со сторонами 3,4,5. По скудным сведениям, дошедшим до нас, Пифагор, покинув свой родной остров Самос, некоторое время жил в Египте.

Таким образом, уже в те далекие времена люди владели различными познаниями в области геометрии, но они не были в состоянии свести их в единую систему. Фалес (примерно 600 г.до н.э.) путешествуя по Египту, познакомился с местными методами измерений и, вернувшись в Грецию, рассказал о них своим соотечественникам. У него были и собственные исследования: в современных школьных курсах математики есть теорема Фалеса. И, только Пифагор, дав доказательство своей теоремы, тем самым отделил геометрию от искусства измерения. К возникшей впоследствии школе Пифагора принадлежали многие ученые, среди которых выделялся Гиппократ Хиосский. Именно он составил систематическое изложение основ геометрии.

Затем наступила эпоха многочисленных геометрических исследований знаменитой платоновской Академии. Платон (427–347гг. до н.э.) наряду с философией серьезное внимание уделял геометрии. Евклид был моложе учеников Платона, но старше Архимеда (ок.287–212 гг. до н.э.), так как был платоником и хорошо знал философию Платона (именно поэтому он закончил «Начала» изложением так называемых Платоновых тел, т.е. пяти правильных многогранников), а с другой стороны его имя упоминается в первом из двух писем Архимеда к Досифею «О шаре и цилиндре».

Евклид жил в Александрии примерно 365 до 300 г. до нашей эры.

Евклид при написании «Начал» не использовал слова «геометрия», но оно, как известно, в то время применялось довольно широко. Его «Начала» представляют собой полное и систематическое изложение основ геометрии. Они состоят из 13 книг, причем не все книги посвящены геометрии: в пятой, седьмой, восьмой девятой и десятой книгах рассматриваются вопросы арифметики. В остальных восьми книгах излагаются основы геометрии.

Открываются «Начала» определениями основных понятий и формулировками некоторых основных положений геометрии, которые принимаются без доказательств.

Далее идут в строгой последовательности «предложения», которые являются теоремами или задачами на построение. Каждая книга «Начал» имеет ту же структуру.

В первую книгу входят теоремы о равенстве треугольников, соотношениях между сторонами и углами треугольников, теории параллельных линий, условия равновеликости треугольников и многоугольников, теорема Пифагора. Во второй книге рассматривается превращение многоугольников в равновеликий квадрат. Третья книга посвящена изучению свойств окружности, четвертая – вписанным и описанным многоугольникам, шестая – подобным фигурам. Наконец, в последних трех книгах излагается стереометрия, которая заканчивается построением циркулем и линейкой ребер правильных многогранников.

Первая книга, как уже было сказано, начинается с определений. Вот некоторые из них:

Определение 1. Точка есть то, часть чего есть ничто.

Определение 2. Линия есть длина без ширины.

Определение 4. Прямая есть такая линия, которая одинаково расположена по отношению ко всем своим точкам и т. д. Всего подряд 23 определения.

Теория Евклида опирается на ряд определений и аксиом. Исходной точкой его логической системы является положение о том, что выдвигаемые им постулаты очевидны, их справедливость признается всеми несомненной.

Имеется пять постулатов:

a. Через две точки проходит единственная прямая.

b. Ограниченную прямую линию можно непрерывно продолжать.

c. Из любой точки как из центра можно описать окружность любого радиуса.

d. Все прямые углы равны между собой.

Познавательно о обучении:

Речь как основное средство педагогического взаимодействия. Развитие коммуникативных способностей педагога
Преподавателю слово дано не для того, чтобы усыпить свою мысль, а чтобы будить чужую. В.О. Ключевский Речь как основное средство педагогического взаимодействия 2. Упражнения на развитие фонационного дыхания 3. Упражнения на развитие голоса 4. Упражнения на развитие выразительности речи 5. Упражнени ...

Сюжет ролевой игры «Город звезд»
Сюжет строится на основе административной структуры города, в который попадает Звездный десант. Отряды десанта становятся жителями этого Города, в котором могут жить только люди идущие вперед: добрые, творческие, изобретательные, целеустремленные, стремящиеся найти новое. Директор фестиваля приглаш ...

Методика использования занимательных заданий во внеурочное время
Самыми популярными видами учебного процесса на сегодняшний день являются внеклассные мероприятия. Их использование повышает интерес к учебе и знаниям, формируют сплоченный коллектив. Видов внеклассных мероприятий существуют довольно много. Самые распространенные из них представляют собой подражание ...