Евклидовы «Начала»

Египтяне, например Пифагор (ок. 600–500 гг. до н.э.), использовали свойства прямоугольных треугольников со сторонами 3,4,5. По скудным сведениям, дошедшим до нас, Пифагор, покинув свой родной остров Самос, некоторое время жил в Египте.

Таким образом, уже в те далекие времена люди владели различными познаниями в области геометрии, но они не были в состоянии свести их в единую систему. Фалес (примерно 600 г.до н.э.) путешествуя по Египту, познакомился с местными методами измерений и, вернувшись в Грецию, рассказал о них своим соотечественникам. У него были и собственные исследования: в современных школьных курсах математики есть теорема Фалеса. И, только Пифагор, дав доказательство своей теоремы, тем самым отделил геометрию от искусства измерения. К возникшей впоследствии школе Пифагора принадлежали многие ученые, среди которых выделялся Гиппократ Хиосский. Именно он составил систематическое изложение основ геометрии.

Затем наступила эпоха многочисленных геометрических исследований знаменитой платоновской Академии. Платон (427–347гг. до н.э.) наряду с философией серьезное внимание уделял геометрии. Евклид был моложе учеников Платона, но старше Архимеда (ок.287–212 гг. до н.э.), так как был платоником и хорошо знал философию Платона (именно поэтому он закончил «Начала» изложением так называемых Платоновых тел, т.е. пяти правильных многогранников), а с другой стороны его имя упоминается в первом из двух писем Архимеда к Досифею «О шаре и цилиндре».

Евклид жил в Александрии примерно 365 до 300 г. до нашей эры.

Евклид при написании «Начал» не использовал слова «геометрия», но оно, как известно, в то время применялось довольно широко. Его «Начала» представляют собой полное и систематическое изложение основ геометрии. Они состоят из 13 книг, причем не все книги посвящены геометрии: в пятой, седьмой, восьмой девятой и десятой книгах рассматриваются вопросы арифметики. В остальных восьми книгах излагаются основы геометрии.

Открываются «Начала» определениями основных понятий и формулировками некоторых основных положений геометрии, которые принимаются без доказательств.

Далее идут в строгой последовательности «предложения», которые являются теоремами или задачами на построение. Каждая книга «Начал» имеет ту же структуру.

В первую книгу входят теоремы о равенстве треугольников, соотношениях между сторонами и углами треугольников, теории параллельных линий, условия равновеликости треугольников и многоугольников, теорема Пифагора. Во второй книге рассматривается превращение многоугольников в равновеликий квадрат. Третья книга посвящена изучению свойств окружности, четвертая – вписанным и описанным многоугольникам, шестая – подобным фигурам. Наконец, в последних трех книгах излагается стереометрия, которая заканчивается построением циркулем и линейкой ребер правильных многогранников.

Первая книга, как уже было сказано, начинается с определений. Вот некоторые из них:

Определение 1. Точка есть то, часть чего есть ничто.

Определение 2. Линия есть длина без ширины.

Определение 4. Прямая есть такая линия, которая одинаково расположена по отношению ко всем своим точкам и т. д. Всего подряд 23 определения.

Теория Евклида опирается на ряд определений и аксиом. Исходной точкой его логической системы является положение о том, что выдвигаемые им постулаты очевидны, их справедливость признается всеми несомненной.

Имеется пять постулатов:

a. Через две точки проходит единственная прямая.

b. Ограниченную прямую линию можно непрерывно продолжать.

c. Из любой точки как из центра можно описать окружность любого радиуса.

d. Все прямые углы равны между собой.

Познавательно о обучении:

План-конспект урока с использованием психодиагностики школьников
Для пользователя Windows наибольший интерес представляют “мощные” приложения, которые в последнее время стали чрезвычайно популярны. (Так же как и сама операционная среда Windows, многие ее приложения разрабатываются фирмой Microsoft, поэтому в полных названиях всех программных продуктов присутству ...

Понятие «энергетический» и «пластический» обмен
Организм человека, как и все живые организмы, существует как открытая энергетическая система. Это значит, что организм постоянно теряет вещество в виде достаточно простых химических соединений. Одновременно с этим происходит выведение энергии из организма. Но организм - это устойчивая энергетическа ...

Реформирование женского образования при Александре II
Первый реальный шаг к серьезному реформированию женского образования был предпринят весной 1856 года. 5 марта этого года министр народного просвещения А.С. Норов подал Александру II доклад, в котором писал: «В системе народного образования по сие время преимущественное внимание правительства обраще ...