Серединный треугольник и прямая Эйлера

Так как BC – общая сторона двух треугольников ABC и HBC, а точки C`, B` и L, M являются серединами других их сторон соответственно, то отрезки C`B` и LM параллельны прямой BC. Аналогично, так как AH – общая сторона двух треугольников BAH и CAH, то оба отрезка C`L и B`M параллельны прямой AH. Следовательно, B`C`LM – параллелограмм. Так как отрезки BC и AH – перпендикулярны, то этот параллелограмм – прямоугольник. Аналогично, A`B`KL – прямоугольник. Следовательно, A`K, B`L, C`M являются тремя диаметрами окружности, как показано на рисунке.

Так как ÐA`DK – прямой, то эта окружность проходит через точку D. Точно также она проходит через точки E и F.

В итоге получаем:

Теорема 8.1. Основания трех высот произвольного треугольника, середины трех его сторон и середины трех отрезков, соединяющих его вершины с ортоцентром, лежат на одной окружности радиуса (Ѕ)R.

Теорема 8.2. Центр окружности девяти точек лежит на прямой Эйлера, точно в середине отрезка между ортоцентром и центром описанной окружности.

Решение задач:

Задача № 54, 56-58 из задачника.

Домашнее задание:

Решить задачи №№59-63.

Педальный треугольник

Ортотреугольник и серединный треугольник являются примерами сопутствующих треугольников более общего типа. Пусть Р – любая точка внутри данного треугольника АВС, и пусть из точки Р на стороны АВ, АС, ВС опущены перпендикуляры РA1, РB1, РС1. Треугольник, А1В1С1 вершинами которого являются основания этих перпендикуляров, называется педальным треугольником треугольника АВС для педальной точки Р.

Теорема 9.1: Если расстояния от педальной точки до вершин треугольника АВС равны x, y, z, то длины сторон педального треугольника равны

В частном случае, когда , это утверждение общеизвестно.

Теорема 9.2: Третий педальный треугольник подобен исходному.

Доказательство следует из чертежа.

Решение задач:

Задачи №36-41.

Домашнее задание:

Подготовиться к контрольной работе. Решить задачи №№ 16-25.

4.2.10 Контрольная работа

Данная контрольная работа состоит из 2 вариантов, каждый вариант содержит 4 задачи.

1. Вариант

1. Докажите, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной в этот треугольник окружности.

2. Докажите, что серединные перпендикуляры сторон треугольника пересекаются в одной точке, совпадающей с центром описанной около этого треугольника окружности.

3. Докажите, что биссектрисы внутреннего и внешнего углов при вершине С треугольника АВС равны тогда и только тогда, когда .

4. Дан треугольник АВС. Известно, что биссектриса СС1 внутреннего угла при вершине С равна биссектрисе СС2 внешнего угла при той же вершине. Может ли прямая СВ быть биссектрисой угла С1СС2?

2. Вариант

1. Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в ней в отношении 2:1, считая от вершин треугольника.

2. Докажите, что точка М, лежащая внутри треугольника АВС является точкой пересечения его медиан тогда и только тогда, когда треугольники АВМ, ВСМ, САМ равновелики.

3. Может ли центр описанной окружности треугольника АВС лежать на его: а) стороне, б) высоте, в) биссектрисе, г)средней линии?

4. Докажите, что в прямоугольном треугольнике медиана и высота, проведенные из вершины прямого угла, образуют равные углы с катетами.

Все предложенные задачи взяты из части «Задачи для самостоятельного решения» приложения (В1: №1 – 1, №2 – 2, №3 – 8, №4 – 9, В2: №1 –15, №2 – 16, №3 –20, №4 – 21).

Экспериментальная часть данной дипломной работы проводилась на базе ГОУ СОШ ЦО №1406, в десятых классах переводчиков и педагогов. В содержание апробации факультативного курса входило 12 занятий: по 9 основным темам, 2 занятия увеличенных по времени (1 занятие – 3 урока) специально отведенные для дополнительного решения задач и одно занятие – контрольная работа для проверки качества усвоения материала. Из каждого класса на факультативные занятия приходили практически все учащиеся. Надо отметить, что среди посещавших занятия учащихся был замечен огромный интерес к изучаемому материалу. Интерес учащихся выражался в их заинтересованности. Новизна изучаемого материала узнаваемого ими на основе уже имеющихся у них знаний и их новая интерпретация особенно нравилась ученикам. Учащиеся с огромным интересом делали чертежи предлагаемых теоретических фактов и решаемых на занятиях задач, и искали их модификации, а также выполняли задания направленные на их самостоятельную деятельность в подготовке исторических справок по изучаемому материалу. Еще один важный результат – учащиеся вне факультативных занятий, на уроках геометрии, искали пути применения новых знаний, и им это иногда очень успешно удавалось. Так же особый интерес у учащихся вызвало электронное сопровождение курса, специально для него разработанное. Электронное сопровождение курса особенно понравилось учащимся, так как в нем можно было самостоятельно создавать чертежи к содержанию занятий и произвольно их модифицировать, тем самым рассматривать различные случаи рассмотрения изучаемых фактов.

Познавательно о обучении:

Деятельность правительства в области женского образования в эпоху Николая I
Первый из «особых комитетов», деятельность которых составляла типичную черту николаевской правительственной системы, был создан рескриптом 14 мая 1826 года для реорганизации «учебной части» в империи. Данный рескрипт на имя министра народного просвещения А.С. Шишкова начинался следующими словами Ни ...

Методы психологического воздействия на учащихся
Если исходить из необходимости уточнения понимания того, что обозначается словосочетанием «психологическое воздействие», то соотносимое с ним явление проявляется весьма разнообразно. На уровне бытового сознания психологическое воздействие чаще всего понимается как воздействие чего-то нематериальног ...

Планирование коррекционной воспитательно-образовательной работы с детьми
Перспективный план на Февраль Взаимодействие с педагогами Цель : Создание единого коррекционно-развивающего пространства Взаимодействие с детьми Цель : Установление причин, структуры и степени выраженности отклонений в их речевом развитии и их коррекция. Взаимодействие с родителями Цель: Установлен ...