Серединный треугольник и прямая Эйлера

В силу того, что теоретическая часть этого занятия носит исключительно ознакомительный характер, то на этапе решения задач предполагается решение задач подготавливающих к введению нового материала следующего занятия и повторение ранее изученного материала.

Решение задач:

1. Докажите, что прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром треугольника.

2. В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты Докажите, что треугольники подобны треугольнику АВС.

3. Треугольник , вершинами которого являются основания высот треугольника АВС. Найдите углы ортоцентрического треугольника остроугольного треугольника АВС, если углы треугольника АВС равны А, В, С.

4. Докажите, что высоты остроугольного треугольника являются биссектрисами его ортоцентрического треугольника.

5. Найдите углы ортоцентрического треугольника тупоугольного треугольника, если углы треугольника АВС равны А, В, С (угол С тупой).

6. Найдите углы всех треугольников, которые подобны своим ортоцентрическим треугольникам.

7. Дан остроугольный треугольник АВС. Докажите, что точки, симметричные ортоцентру треугольника АВС относительно его сторон, лежат на окружности, описанной около этого треугольника.

8. Продолжения высот остроугольного треугольника АВС пересекают описанную окружность в точках. Докажите, что а) треугольник подобен ортоцентрическому треугольнику треугольника АВС и коэффициент подобия равен 2, б) высоты треугольника АВС являются биссектрисами треугольника .

9. Пусть Н – ортоцентр треугольника АВС. Докажите, что радиусы окружностей, описанных около треугольников АВН, ВСН и САН равны между собой и равны радиусу окружности, описанной около треугольника АВС.

Домашнее задание:

Решить задачи 6-9 и дорешать задачи из классной работы.

Подготовить доклад на тему «Ортотреугольник»

Ортотреугольник

Этап 1. Проверка домашнего задания и разбор не решенных задач.

Этап 2. Повторение ранее изученного материала.

Этап 3. Введение нового материала (объяснительно иллюстративный метод).

Прежде всего, учащиеся формулируют определение ортоцентра треугольника и ортоцентрического треугольника. Далее учащиеся записывают формулировку теоремы.

Теорема 6.1: Ортоцентр остроугольного треугольника является центром окружности, вписанной в его ортотреугольник.

Одно из простейших доказательств опирается на две следующие леммы:

Две следующие леммы, используемые для доказательства теоремы 6.1 уже хорошо известны учащимся из курса планиметрии.

Лемма 6.1.1: Если две хорды окружности стягивают различные острые углы с вершинами на этой окружности, то меньшему углу соответствует меньшая хорда.

Доказательство: Две равные хорды стягивают равные углы с вершиной в центре окружности и равные углы (как их половины) с вершинами в соответствующих точках на окружности. Из двух неравных хорд более короткая, находясь дальше от центра, стягивает меньший угол с вершиной в центре и, следовательно; меньший угол с вершиной на окружности.

Лемма 6.1.2: В треугольнике с двумя различными углами меньший угол обладает большей биссектрисой.

Доказательство:

Пусть АВС – треугольник, в котором угол В меньше угла С, как на рисунке; пусть отрезки ВМ и CN делят пополам углы В и С. Мы хотим доказать, что . Возьмём точку М` на отрезке ВМ так, чтобы . Так как этот угол равен углу M`BN, то четыре точки N, B, C, M` лежат на одной окружности. Поскольку то . По лемме 1.6.1 . Следовательно,

Познавательно о обучении:

Педагогическое общение и приемы его оптимизации. Стили общения. Методы, приемы, средства педагогического воздействия, взаимодействия
Самая неискоренимая человеческая потребность – потребность в общении. В.А. Сухомлинский Сущность педагогического взаимодействия Принципы педагогического взаимодействия Педагогическое общение Стили общения Методы, приемы, средства общения Вербальные и невербальные средства общения Сущность педагогич ...

Цели обучения
Изучение русского языка в начальной школе направлено на достижение следующих целей: развитие речи, мышления, воображения школьников, способности выбирать средства языка в соответствии с условиями общения, развитие интуиции и «чувства языка»; освоение первоначальных знаний о лексике, фонетике, грамм ...

Анализ экологической культуры детей среднего дошкольного возраста в ходе проведения занятий
Цель контрольного эксперимента - проверка необходимости в проведении занятий наблюдений за объектами живой природы в повышении уровня экологической культуры детей среднего дошкольного возраста. В качестве методики по повышению уровня экологической культуры нами была выбрана методика констатирующего ...