Серединный треугольник и прямая Эйлера

В силу того, что теоретическая часть этого занятия носит исключительно ознакомительный характер, то на этапе решения задач предполагается решение задач подготавливающих к введению нового материала следующего занятия и повторение ранее изученного материала.

Решение задач:

1. Докажите, что прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром треугольника.

2. В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты Докажите, что треугольники подобны треугольнику АВС.

3. Треугольник , вершинами которого являются основания высот треугольника АВС. Найдите углы ортоцентрического треугольника остроугольного треугольника АВС, если углы треугольника АВС равны А, В, С.

4. Докажите, что высоты остроугольного треугольника являются биссектрисами его ортоцентрического треугольника.

5. Найдите углы ортоцентрического треугольника тупоугольного треугольника, если углы треугольника АВС равны А, В, С (угол С тупой).

6. Найдите углы всех треугольников, которые подобны своим ортоцентрическим треугольникам.

7. Дан остроугольный треугольник АВС. Докажите, что точки, симметричные ортоцентру треугольника АВС относительно его сторон, лежат на окружности, описанной около этого треугольника.

8. Продолжения высот остроугольного треугольника АВС пересекают описанную окружность в точках. Докажите, что а) треугольник подобен ортоцентрическому треугольнику треугольника АВС и коэффициент подобия равен 2, б) высоты треугольника АВС являются биссектрисами треугольника .

9. Пусть Н – ортоцентр треугольника АВС. Докажите, что радиусы окружностей, описанных около треугольников АВН, ВСН и САН равны между собой и равны радиусу окружности, описанной около треугольника АВС.

Домашнее задание:

Решить задачи 6-9 и дорешать задачи из классной работы.

Подготовить доклад на тему «Ортотреугольник»

Ортотреугольник

Этап 1. Проверка домашнего задания и разбор не решенных задач.

Этап 2. Повторение ранее изученного материала.

Этап 3. Введение нового материала (объяснительно иллюстративный метод).

Прежде всего, учащиеся формулируют определение ортоцентра треугольника и ортоцентрического треугольника. Далее учащиеся записывают формулировку теоремы.

Теорема 6.1: Ортоцентр остроугольного треугольника является центром окружности, вписанной в его ортотреугольник.

Одно из простейших доказательств опирается на две следующие леммы:

Две следующие леммы, используемые для доказательства теоремы 6.1 уже хорошо известны учащимся из курса планиметрии.

Лемма 6.1.1: Если две хорды окружности стягивают различные острые углы с вершинами на этой окружности, то меньшему углу соответствует меньшая хорда.

Доказательство: Две равные хорды стягивают равные углы с вершиной в центре окружности и равные углы (как их половины) с вершинами в соответствующих точках на окружности. Из двух неравных хорд более короткая, находясь дальше от центра, стягивает меньший угол с вершиной в центре и, следовательно; меньший угол с вершиной на окружности.

Лемма 6.1.2: В треугольнике с двумя различными углами меньший угол обладает большей биссектрисой.

Доказательство:

Пусть АВС – треугольник, в котором угол В меньше угла С, как на рисунке; пусть отрезки ВМ и CN делят пополам углы В и С. Мы хотим доказать, что . Возьмём точку М` на отрезке ВМ так, чтобы . Так как этот угол равен углу M`BN, то четыре точки N, B, C, M` лежат на одной окружности. Поскольку то . По лемме 1.6.1 . Следовательно,

Познавательно о обучении:

Врачебно-педагогическая характеристика школьников с ослабленным здоровьем
Основным критерием отбора в различные группы является состояние здоровья учеников. Определяет соответствующую группу врач при обязательном участии педагога. При оценке состояния здоровья школьников следует проверить характер отклонений в деятельности организма. Методика обследования включает следую ...

Наука 18 века
Начиная с конца XVIII века, наблюдается трагическая эпоха в истории Украины, когда была завершена та последовательная политика лишения Украины не только государственности, но и национальных достижений и культурных достижений предыдущих веков. Постепенно освобождалась от религиозного влияния медицин ...

Анализ анкетирования родителей
Анкетирование было проведено на общем родительском собрании 18.10.2004 года. В опросе участвовало 52 человека, это составляет 26% от количества занимающихся в нашей школе детей. По результатам опроса выявлено, что большее количество родителей имеют среднее специальное образование по рабочим специал ...