Серединный треугольник и прямая Эйлера

Страница 10

Доказательство теоремы 6.1:

При доказательстве этой теоремы важно обратить внимание учащихся на построении структуры логических рассуждений, которые делают доказательство данной теоремы более коротким.

Часто случается, что теорема может быть выражена в форме «противоположной к обратной» – эквивалентной первоначальной.

Например, вместо того, чтобы сказать: «Все люди смертны», мы можем также сказать «Бессмертные не есть люди».

Вместо доказательства самой теоремы 6.1. нам достаточно доказать, что если в треугольнике АВС: , то . Но это есть прямое следствие леммы 6.1.2.

Теорема 6.2: Ортоцентр остроугольного треугольника является центром окружности, вписанной в его ортотреугольник.

Учащимся предлагается самостоятельно показать доказательство этой теоремы дома.

Мы уже отметили на рисунке, что . А так как отрезок HD перпендикулярен отрезку DB, то и отрезок FD должен быть перпендикулярен отрезку OB. Перпендикулярность отрезков DE и OC, а также EF и OA показывается аналогично.

Решение задач:

Задачи 1-7 из задачника.

Домашнее задание:

Решить задачи 8-11 из задачника.

Этап 1. Проверка домашнего задания. Особое внимание уделяется проверке доказательства теоремы 6.2.

Этап 2. Повторение ранее изученного материала. Проводится сначала письменный опрос учащихся по материалу предыдущих уроков. После окончания работы ученики сдают листочки со своими ответами, и начинается устный опрос по тем же самым вопросам, что дает возможность учащимся проверить их работы.

Этап 3. Введение нового материала.

Учащиеся записывают определение:

Треугольник, полученный соединением середин сторон данного треугольника, назовем серединным треугольником.

На доске по заготовленному за ранее чертежу ведется объяснение.

На рисунке A`B`C` есть срединный треугольник треугольника АВС. Рассмотрим так же две медианы AA` и BB`, пересекающиеся в точке G, две высоты треугольника ABC, пересекающиеся в точке H, и две высоты треугольника A`B`C` пересекающиеся в точке O.

Что вы можете сказать про треугольники АВС и А`B`C`? Какие они?

Стороны треугольника A`B`C` параллельны сторонам треугольника АВС, поэтому эти треугольники подобны.

Далее, |C`B`|=1/2|BC|, поэтому отношение длин любых двух соответствующих отрезков (а не только соответствующих сторон) будет равно1:2. В действительности, отрезки B`C`, C`A`, A`B` разбивают треугольник ABC на четыре конгруэнтных треугольника. Кстати, точка P –середина отрезка B`C` – также является и серединой отрезка AA`

Далее мы видим, что AC`A`B` – параллелограмм, следовательно, прямая AA` делит пополам отрезок B`C`. Поэтому медианы треугольника A`B`C` лежат на медианах треугольника ABC, а это значит, что оба треугольника имеют один и тот же центроид G.

Высоты треугольника A`B`C`, изображенные на рисунке, являются срединными перпендикулярами сторон AB и BC треугольника ABC. Отсюда делаем вывод, что точка O – ортоцентр треугольника A`B`C` – является время и центром окружности, описанной вокруг треугольника ABC.

Так как точка H – ортоцентр треугольника ABC, а точка O – ортоцентр подобного ему треугольника A`B`C`, то |AH| = 2 |OA`|. По теореме 3.2 |AG| + 2 |GA`|. И так как оба отрезка, AD и OA`, перпендикулярны стороне BC, то они параллельны. Следовательно,

ÐHAG = ÐOA`G, Ñ HAG ¥ Ñ OA`G и ÐAGH = Ð A`GO.

Этим показано, что точки O, G, H коллинеарны и |HG| = 2 |GO|, то есть справедлива

Теорема 7.1: Ортоцентр, центроид и центр описанной окружности произвольного треугольника лежат на одной прямой. Центроид делит расстояние от ортоцентра до центра описанной окружности в отношении 2:1.

Решение задач:

№55 из задачника.

Домашнее задание:

Учить все определения и теоремы.

Окружность девяти точек

Рассмотрим рисунок. На нем точки K, L, M – середины отрезков AH, BH, CH, лежащих на высотах.

Страницы: 5 6 7 8 9 10 11 12

Познавательно о обучении:

Евклидовы «Начала»
В течение двух тысяч лет геометрию узнавали из «Начал» Евклида, либо из учебников, написанных не основе этой книги. Лишь профессиональные математики обращались к трудам других великих греческих геометров: Архимеда, Апполония – и геометров более позднего времени. Классическую геометрию стали называт ...

Задачи и содержание патриотического воспитания дошкольников
1. Формирование у детей системы знаний о своей Родине, которая может быть представлена следующим образом: природоведческие и географические сведения (географические особенности родного края, климата, природы страны ), сведения о жизни своего народа (особенности быта, труда, культуры, традиций), соц ...

Требования к проведению наблюдения
В повседневной жизни в течение учебного года в любой возрастной группе проводится много разных наблюдений в природе. От организации и методических приемов, которые использует воспитатель, зависят усвоение детьми содержания наблюдений, развитие интереса к ним и желания добровольно в них участвовать. ...

Категории

Copyright © 2020 www.fiteducation.ru