Серединный треугольник и прямая Эйлера

Доказательство теоремы 6.1:

При доказательстве этой теоремы важно обратить внимание учащихся на построении структуры логических рассуждений, которые делают доказательство данной теоремы более коротким.

Часто случается, что теорема может быть выражена в форме «противоположной к обратной» – эквивалентной первоначальной.

Например, вместо того, чтобы сказать: «Все люди смертны», мы можем также сказать «Бессмертные не есть люди».

Вместо доказательства самой теоремы 6.1. нам достаточно доказать, что если в треугольнике АВС: , то . Но это есть прямое следствие леммы 6.1.2.

Теорема 6.2: Ортоцентр остроугольного треугольника является центром окружности, вписанной в его ортотреугольник.

Учащимся предлагается самостоятельно показать доказательство этой теоремы дома.

Мы уже отметили на рисунке, что . А так как отрезок HD перпендикулярен отрезку DB, то и отрезок FD должен быть перпендикулярен отрезку OB. Перпендикулярность отрезков DE и OC, а также EF и OA показывается аналогично.

Решение задач:

Задачи 1-7 из задачника.

Домашнее задание:

Решить задачи 8-11 из задачника.

Этап 1. Проверка домашнего задания. Особое внимание уделяется проверке доказательства теоремы 6.2.

Этап 2. Повторение ранее изученного материала. Проводится сначала письменный опрос учащихся по материалу предыдущих уроков. После окончания работы ученики сдают листочки со своими ответами, и начинается устный опрос по тем же самым вопросам, что дает возможность учащимся проверить их работы.

Этап 3. Введение нового материала.

Учащиеся записывают определение:

Треугольник, полученный соединением середин сторон данного треугольника, назовем серединным треугольником.

На доске по заготовленному за ранее чертежу ведется объяснение.

На рисунке A`B`C` есть срединный треугольник треугольника АВС. Рассмотрим так же две медианы AA` и BB`, пересекающиеся в точке G, две высоты треугольника ABC, пересекающиеся в точке H, и две высоты треугольника A`B`C` пересекающиеся в точке O.

Что вы можете сказать про треугольники АВС и А`B`C`? Какие они?

Стороны треугольника A`B`C` параллельны сторонам треугольника АВС, поэтому эти треугольники подобны.

Далее, |C`B`|=1/2|BC|, поэтому отношение длин любых двух соответствующих отрезков (а не только соответствующих сторон) будет равно1:2. В действительности, отрезки B`C`, C`A`, A`B` разбивают треугольник ABC на четыре конгруэнтных треугольника. Кстати, точка P –середина отрезка B`C` – также является и серединой отрезка AA`

Далее мы видим, что AC`A`B` – параллелограмм, следовательно, прямая AA` делит пополам отрезок B`C`. Поэтому медианы треугольника A`B`C` лежат на медианах треугольника ABC, а это значит, что оба треугольника имеют один и тот же центроид G.

Высоты треугольника A`B`C`, изображенные на рисунке, являются срединными перпендикулярами сторон AB и BC треугольника ABC. Отсюда делаем вывод, что точка O – ортоцентр треугольника A`B`C` – является время и центром окружности, описанной вокруг треугольника ABC.

Так как точка H – ортоцентр треугольника ABC, а точка O – ортоцентр подобного ему треугольника A`B`C`, то |AH| = 2 |OA`|. По теореме 3.2 |AG| + 2 |GA`|. И так как оба отрезка, AD и OA`, перпендикулярны стороне BC, то они параллельны. Следовательно,

ÐHAG = ÐOA`G, Ñ HAG ¥ Ñ OA`G и ÐAGH = Ð A`GO.

Этим показано, что точки O, G, H коллинеарны и |HG| = 2 |GO|, то есть справедлива

Теорема 7.1: Ортоцентр, центроид и центр описанной окружности произвольного треугольника лежат на одной прямой. Центроид делит расстояние от ортоцентра до центра описанной окружности в отношении 2:1.

Решение задач:

№55 из задачника.

Домашнее задание:

Учить все определения и теоремы.

Окружность девяти точек

Рассмотрим рисунок. На нем точки K, L, M – середины отрезков AH, BH, CH, лежащих на высотах.

Познавательно о обучении:

Анализ и интерпретация результатов социально-психологического исследования
Для исследования нами были отобраны две выборки студентов АУЦА: первая группа была представлена студентами 4 курса факультета менеджмента, в чьих занятиях проводились имитационные игры. Вторая группа – это студенты 4 курса факультета журналистики, у них имитационные игры в процессе обучения не испо ...

Применение имитационных игр и их влияние на социально-психологические особенности личности студентов
В последнее время имитационные игры находят все более широкое применение в самых разных областях: в основном в экономике и политике, а также в социологии, экологии, администрировании, образовании, городском планировании, истории. Имитационные игры используются для подготовки специалистов в соответс ...

Результативность применения и ограничения в использовании Дальтон-технологии
Основными критериями результативности Дальтон-технологии являются: познавательная самостоятельность ученика; стратегия поведения ученика в процессе взаимодействия с другими; уровень сформированности у школьника умений использовать научные методы познания (наблюдение, гипотеза, эксперимент). В резул ...