Планирование занятий
Обобщенная теорема синусов
Теорема синусов – это тригонометрическая теорема, которой мы будем часто пользоваться.
К сожалению, в учебниках она обычно появляется в урезанной форме, и в этом виде она не приносит всей той пользы, которую могла бы дать обобщенная теорема. Поэтому докажем эту теорему в желательной для нас форме.
Давайте вспомним формулировку теоремы синусов, о чем в ней говориться?
Учащиеся формулируют известную им теорему синусов (если требуется, то с помощью учителя).
Формулировка: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов:
.
Мы начинаем с треугольника АВС и описываем вокруг его окружность с центром в точке О и радиусом R, как показано на рисунке. Проведем диаметр CJ и хорду BJ.
Что можно сказать про угол CBJ?
Он прямой.
Почему?
Потому что он вписан в окружность и опирается на диаметр.
Да, в обоих случаях ÐCBJ – прямой, так как он вписан в полукруг.
Следовательно, как тогда можно выразить sinÐJ?
Рассмотрим рисунок.
Что вы можете сказать про углы J и A, какие они?
Они равны.
Почему?
Потому что они опираются на одну и ту же дугу окружности.
На рисунке ÐJ=ÐA, поскольку углы J и A опираются на одну и ту же дугу окружности.
А на втором рисунке, что вы можете сказать про углы J и A, какие они?
Скажите, вот вы сделали дополнительные построения, какую фигуру вы видите на рисунке.
Треугольник.
Скажите, какие дополнительные построения вы сделали?
Вокруг имеющегося треугольника мы описали окружность, построили диаметр CJ и хорду BJ.
Какая в итоге получилась фигура?
Четырехугольник, вписанный в окружность.
Так что можно сказать про углы J и A данного четырехугольника, какие они?
Противоположные.
А что вам известно про противоположные углы вписанного четырехугольника?
Они являются дополнительными.
Что это значит? Какой можно из этого сделать вывод? Как это можно записать?
ÐJ = 1800 – ÐА
Давайте посчитаем синус ÐJ.
sinÐJ = sin(1800 – ÐА)
А это почему?
Потому что противоположные углы вписанного четырехугольника являются дополнительными.
И что из этого следует? Какой можно сделать вывод? Чему же равен sinÐJ?
sinÐJ=sinÐA
Чем вы воспользовались, чтобы получить это равенство?
Мы воспользовались равенством sin q = sin (1800 – q).
Скажите, этот вывод относится к какому рассматриваемому случаю, 1 или 2?
К обоим.
Почему к обоим?
Потому что данное равенство sin q = sin (1800 – q) справедливо для этих двух случаев.
Теперь на основании сделанных умозаключений давайте сделаем вывод, что sinÐA = a/2R, так как sin q = sin (1800 – q), и получим что a/sinÐA=2R.
Аналогично, если проведем подобные рассуждения, получим такие же результаты для остальных углов.
Объединяя результаты, мы можем сформулировать обобщенную теорему синусов следующим образом:
Запишем обобщенную теорему синусов.
Теорема 1.1: Для треугольника АВС с радиусом описанного круга R выполнены соотношения:
a / sinÐA = b / sinÐB = c / sinÐC = 2R.
Решение задач:
Приведенные ниже задачи разделены на 2 блока. Задачи из блока 1 – это задачи на применение теоремы синусов, задачи из блока 2 – задачи на применение обобщенной теоремы синусов.
Задачи блока 1 можно предложить для решения учащимся до введения нового материала.
Блок 1.
1. С помощью теоремы синусов решите треугольник, если:
а) ÐА=600, ÐВ=400, с =14
б) ÐА=300, ÐС=750, b = 4,5
в) ÐА=800, a = 16, b = 10
г) ÐB=450, ÐC=700, a = 24,6
д) ÐА=600, a = 10, b = 7
2. В треугольнике АВС АС=12, ÐА=750, ÐС=600. Найдите АВ и SABC.
3. Найдите стороны треугольника АВС, если ÐА=450, ÐВ=300, а высота AD равна 3 метрам.
4. В параллелограмме . Найдите ÐBDC и ÐDBC.
Познавательно о обучении:
Особенности руководства экспериментальной деятельностью
дошкольника
Роль педагога в экспериментировании является ведущей в любом возрасте. Педагог непосредственно участвует в эксперименте таким образом, чтобы быть для детей равноправным партнером, руководить экспериментом так, чтобы у детей сохранялось чувство самостоятельности открытия. Подготовка к проведению экс ...
Проблемы реформирования педагогического образования в высшей школе и пути
их решения
Стратегические задачи, поставленные перед педагогическими вузами государственной образовательной политикой, отражены в следующих документах: Стратегия РФ в области развития образования на период до 2010 г.; Федеральная целевая программа развития образования на 2005-2008 гг.; Концепция участия Росси ...
Дифференцированный
подход к организации контроля
Как отмечалось ранее, в настоящее время принципиальные изменения в школе связаны с введением дифференцированного обучения. Важнейшим видом дифференциации при обучении во всех классах становится уровневая дифференциации. Ее основная особенность состоит в дифференциации требований к знаниям и умениям ...